Tema: Igualdades, desigualdades, ecuaciones e inecuaciones

Definición de Igualdad Matemática

La idea de igualdad en el ámbito de la matemática expresa que dos objetos son iguales si son el mismo objeto. De esta manera, 1+ 1 y 2 se refieren al mismo objeto matemático. Y el hecho de que ambos sean lo mismo se expresa a través del signo =. De esta manera, la igualdad matemática está formada por dos miembros diferenciados: el miembro situado a la izquierda y antes del signo = y el miembro derecho que se encuentra después del =.
Propiedades de la igualdad matemática

Si a una igualdad le sumamos el mismo número en ambos partes, se produce otra igualdad (por ejemplo, en la igualdad 5+3= 8. al sumar 2 en las dos partes de la igualdad se crea una igualdad con valor 10). Lo mismo sucede si restamos el mismo número a ambas partes de la igualdad, si lo multiplicamos o si lo dividimos. En todos estos casos sigue produciéndose otra igualdad matemática.


El curioso origen del signo =

Ya los antiguos egipcios y babilonios realizaban operaciones matemáticas con normalidad para realizar cálculos aritméticos. Sin embargo, el signo = se introdujo en el lenguaje matemático en el siglo XVl de nuestra era. El primero en utilizarlo fue un matemático galés llamado Robert Recorde y eligió este símbolo porque consideró que dos rectas paralelas simbolizan muy bien la idea de igualdad (es difícil encontrar dos cosas que sean más iguales). Este matemático también fue el primero en utilizar el signo + y - para indicar la suma y la resta.

Por qué se empezó a utilizar el signo = ?

En el siglo XVl se perfeccionaron los métodos matemáticos de la antigüedad para dar respuesta a las necesidades comerciales, a la incipiente actividad bancaria y a las ciencias en general. Para realizar estas tareas se hacía necesario crear un nuevo lenguaje de símbolos y la unificación de los mismos en la comunidad científica.
Antes del siglo XVl el lenguaje matemático utilizaba abreviaturas que representaban a los conceptos y a las distintas operaciones. Este sistema era eficaz pero no lo suficientemente claro. Así, el simbolismo fue una herramienta de gran utilidad para la consolidación de la matemática.
Inicialmente fue utilizado en el ámbito británico pero en pocas décadas este nuevo sistema fue imitado en toda Europa y luego en el mundo entero. Hay que tener en cuenta que en cada país se utilizaba una simbología matemática propia y estas diferencias dificultaban el conocimiento y la universalización de la propia matemática. A modo anecdótico hay que recordar que el filósofo y matemático francés Descartes empleaba un signo parecido al de infinito para simbolizar el concepto de igualdad.                 Desigualdad matemática

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b

estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables

Propiedades

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitividad

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a > b y b > c entonces a > c.
• Si a < b y b < c entonces a < c.
• Si a > b y b = c entonces a > c.
• Si a < b y b = c entonces a < c.

Adición y sustracción

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
• Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

Multiplicación y división

• Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:

• Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
• Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.

Opuesto

• Para números reales arbitrarios a y b:

• Si a < b entonces −a > −b.
• Si a > b entonces −a < −b.

Recíproco

• Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

• Si a < b entonces 1/a > 1/b.
• Si a > b entonces 1/a < 1/b.

• Si a y b son de distinto signo:

• Si a < b entonces 1/a < 1/b.
• Si a > b entonces 1/a > 1/b.

Función monótona

Al aplicar una función monótona creciente, a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.

Ejemplo

${\displaystyle a<b\Leftrightarrow e^{a}<e^{b}}$

al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.

Valor absoluto

Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:

• ${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$
• ${\displaystyle |a|\geq b\iff -b\geq a\vee a\geq b}$

Cuerpo ordenado

Si (F, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre F, entonces (F, +, ×, ≤) es un cuerpo ordenado si y solo si:

• a ≤ b implica a + c ≤ b + c;
• 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.

Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los complejos para hacer de (C, +, ×, ≤) un cuerpo ordenado.

Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden estricto.

Notación encadenada

La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n establece que a_i ≤ a_i+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad transitiva, esta condición es equivalente a a_i ≤ a_j para cualesquiera 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo:

a < b = c ≤ d

significa que a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividad: a < d). Esta notación es utilizada en algunos lenguajes de programación tales como Python.

Desigualdades entre medias

Véase también: Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

Las distintas medias pueden relacionarse utilizando desigualdades. Por ejemplo, para números positivos a₁, a₂, …, a_n, si

${\displaystyle H={\frac {n}{1/a_{1}+1/a_{2}+\cdots +1/a_{n}}}}$	(Media armónica),
${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$	(Media geométrica),
${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$	(Media aritmética),
${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$	(Media cuadrática),

entonces: ${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q}$.

          Definición de Ecuación

En matemática se llama ecuación a la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que serán denominados miembros de la ecuación. En las ecuaciones, aparecerán relacionados a través de operaciones matemáticas, números y letras (incógnitas).

La mayoría de los problemas matemáticos encuentran expresadas sus condiciones en forma de una o varias ecuaciones.

En tanto, cuando cualquiera de los valores de las variables de la ecuación cumpla la igualdad, se denominará a esta situación como solución de ecuación.

Ante una ecuación pueden ocurrir los siguientes escenarios, que ninguno de los valores de la incógnita arriben a la igualdad, o bien por el contrario, que todo valor posible de la incógnita lo cumpla, en este caso estaríamos ante lo que se denomina en matemáticas identidades y cuando dos expresiones matemáticas coinciden en la desigualdad, a la misma, se la determinará como inecuación.

Existen diversos tipos de ecuaciones, entre ellos, nos encontramos con la ecuación funcional, que es aquella en la cual las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Cuando en algunos de los miembros aparece un operador diferencial se las llama ecuaciones diferenciales. Luego está la ecuación polinómica, que será aquella que establece la igualdad entre dos polinomios. Por otro lado, las ecuaciones de primer grado son aquellas en las cuales la variable x no se encuentra elevada a ninguna potencia, siendo 1 su exponente. En tanto, el rasgo característico y diferencial de las ecuaciones que se conocen como de segundo grado es que tendrán dos posibles soluciones a la misma.

Pero para la astronomía, donde el término también dice presente, una ecuación es la diferencia entre el lugar o movimiento medio y el verdadero o aparente que ostenta un astro.

                        Inecuación

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas sólo para algunos valores de las variables se conocen cómo inecuaciones condicionales.¹​ Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional: ${\displaystyle |x|\leq |x|+|y|}$.
• Ejemplo de inecuación condicional: ${\displaystyle -2x+7<2}$.

Clasificación

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: ${\displaystyle x<0}$.

• • De dos incógnitas. Ejemplo: ${\displaystyle x<y}$.
  • De tres incógnitas. Ejemplo: ${\displaystyle x<y+z}$.
  • etc.

• Según la potencia de la incógnita,
  • De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: ${\displaystyle x+1<0}$.
  • De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: ${\displaystyle x^{2}+1<0}$.
  • De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: ${\displaystyle x^{3}+y^{2}<0}$.
  • etc.

Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Se multiplican a través de una calculadora de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):

• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c<0}$
• ${\displaystyle bx^{2}+ax+c\leq 0}$
• ${\displaystyle cx^{2}+bx+a>0}$
• ${\displaystyle zx^{2}+yx+b\geq 0}$
• a = 0

Sistema de Inecuaciones

Véase también: Programación lSistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita[editar]En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.

Es un conjunto de inecuaciones de segundo grado

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}ax+b<0\\cx+d\geq 0\\...\\lx+m>0\\\end{array}}\right.}$

La solución del sistema será el conjunto de números reales que verifican a la vez todas las inecuaciones.

              Para que sirve la  Ecuación

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.^{nota 1}​ Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica simple:

${\displaystyle \overbrace {3x-1} ^{\text{primer miembro}}=\overbrace {9+x} ^{\text{segundo miembro}}}$

la variable ${\displaystyle x}$ representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

${\displaystyle x=5}$

En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.

El símbolo «=», que aparece en cada ecuación, fue inventado en 1557 por Robert Recorde, que consideró que no había nada más igual que dos líneas rectas paralelas de la misma longitud.

Uso de ecuaciones

La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 kg·m/s = 1 newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.

Ejemplos:

• ecuación de estado
• ecuación de movimiento
• ecuación constitutiva

El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.

Según autores como Ian Stewart, "el poder de las ecuaciones (...) recae en la correspondencia filosóficamente difícil entre las matemáticas -una creación colectiva de mentes humanas- y una realidad externa física."²​

Historia

Antigüedad

Ya en el siglo XVI a. C., los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía, usaban un método iterativo aproximado, llamado el «método de la falsa posición».

Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro Los nueve capítulos sobre el arte matemático, en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Arithmetica en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los primeros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas.³​

Siglos XV - XVI

Pasada la “edad oscura” medieval, el estudio de las ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el siglo XV estaban a la orden del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famoso enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia, experto algebrista.

Sobre mediados del siglo XVI los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli descubrieron que, para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, el uso de los números imaginarios era indispensable. Cardano, enemigo acérrimo de Tartaglia, también halló métodos de resolución de ecuaciones de cuarto grado.

En el mismo siglo, el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z.

En esta época se enuncian problemas de ecuaciones que solo han sido resueltos actualmente, algunos recientemente; entre ellos el último teorema de Fermat, uno de los teoremas más famosos de la matemática, que no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.

Siglos XVII-XVIII

En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz publicaron los primeros métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales que aparecen en los problemas de la dinámica. Probablemente el primer libro sobre estas ecuaciones fue Sobre las construcciones de ecuaciones diferenciales de primer grado, de Gabriele Manfredi (1707). Durante el siglo XVIII, matemáticos ilustres como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph Lagrange y Pierre Simon Laplace publicaron resultados sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

Época moderna

A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; solo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios del siglo XIX, Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular, mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado; acto seguido Évariste Galois demostró, utilizando su teoría de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda ecuación de grado igual o superior a cinco.

Durante el siglo XIX, las ciencias físicas utilizaron, en su formulación, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales, como es el caso de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la mecánica hamiltoniana o la mecánica de fluidos. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución llevó a la creación de una nueva especialidad, la física matemática.

Ya en el siglo XX, la física matemática siguió ampliando su campo de acción; Erwin Schrödinger, Wolfgang Ernst Pauli y Paul Dirac formularon ecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecánica cuántica. Albert Einstein utilizó ecuaciones tensorialespara su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación en teoría económica.

Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usando algoritmos numéricos.

Definición general

La igualdad f(x) = b es una ecuación.

Dada una función f : A → B y un b en B, es decir, un elemento del codominio de f.

En la ecuación dada, x se denomina incógnita.

Un ejemplo de ecuación es el siguiente, tomando

${\displaystyle {\begin{array}{crcl}f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,&f(x)&=&3x-2\\{\textrm {y}}&b&=&1\end{array}}}$

se tiene la ecuación con variable natural

${\displaystyle 3x-2=1.}$

El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto A son funciones y la aplicación f debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.

La definición que se ha dado incluye las igualdades de la forma g(x) = h(x). Si «+» denota la suma de funciones, entonces (B, +) es un grupo. Basta definir la aplicación f(x) = g(x) + ( – h(x) ), con –h el inverso de h con respecto a la suma, para transformar la igualdad en una ecuación f(x) = 0 con b = 0.

Conjunto de soluciones

Dada la ecuación f(x) = b, el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por S = f^–1(b), donde f^–1 es la imagen inversa de f. Si S es el conjunto vacío, la ecuación no es soluble; si tiene solo un elemento, la ecuación tendrá solución única; y si S posee más de un elemento, todos ellos serán soluciones de la ecuación.

En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata solo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Uno de los métodos más corrientes para probar que existe una solución, consiste en aprovechar que el conjunto A tiene alguna topología. No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si estos sistemas tienen solución. No obstante, el álgebra carece de recursos para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una solución, hay que recurrir al análisis complejo⁴​ y, por lo tanto, a la topología.

Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales, en donde es posible caracterizar el conjunto solución a través del Teorema de Rouché-Frobenius.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones suelen clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están:

• Ecuaciones algebraicas
  • De primer grado o lineales
  • De segundo grado o cuadráticas
  • De tercer grado o cúbicas
  • Diofánticas o diofantinas
  • Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
• Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.
• Ecuaciones diferenciales
  • Ordinarias
  • En derivadas parciales
• Ecuaciones integrales
• Ecuaciones funcionales

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución solo puede ser un número entero, es decir, en este caso A ⊆ ℤ.

Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

Cuando A es un cuerpo y f un polinomio, se tiene una ecuación algebraica polinómica.

En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto A es un conjunto de vectores reales y la función f es un operador lineal.

Propiedades

El axioma fundamental de las ecuaciones es:

Toda ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.

Se consideran como operaciones elementales aquellas que preservan una igualdad matemática. Ejemplos sencillos de operaciones elementales son la suma, la multiplicación y sus inversas respectivas, resta y división. Esto implica:

• Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.

${\displaystyle a=b\Rightarrow a+c=b+c}$

• Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

${\displaystyle a=b\Rightarrow ac=bc}$

• Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad no nula, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

${\displaystyle \forall c\neq 0\quad a=b\Rightarrow {\frac {a}{c}}={\frac {b}{c}}}$

Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:

• Simplificar factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación que contienen variables. Esta operación debe aplicarse con cuidado, porque el conjunto de soluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuación y · x = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si se dividen ambos lados entre x para simplificarla se obtiene la ecuación y = 1, pero la segunda solución se ha perdido.
• Si se aplica una función no inyectiva a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante puede tener un conjunto de soluciones más grande que el original.

En general, si se aplican funciones inyectivas a ambos miembros, la igualdad subsiste.

Además, una igualdad es una relación de equivalencia,⁵​ con lo cual se cumplen las siguientes propiedades.

• Propiedad reflexiva: a = a.

Ejemplos: 14 = 14, x + 8 = x + 8

• Propiedad simétrica: Si a = b, entonces b = a.

Ejemplos: Si x = 5, entonces 5 = x. Si y = 2 + x, entonces 2 + x = y.

• Propiedad transitiva: Si a = b, y b = c, entonces a = c.

Ejemplos: Si x = a, y a = 8b, entonces x = 8b. Si xy = 8z, y 8z = 32, entonces xy = 32.

Resolución de ecuaciones

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple.

Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más ecuaciones;^{[cita requerida]} sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación.

Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad una identidad.^{nota 2}​

Ecuaciones algebraicas

Una ecuación algebraica es aquella que contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Por ejemplo:

${\displaystyle x^{3}y+4x-y=5-2xy}$

Definición

Se llama ecuación algebraica con una incógnita la ecuación que se reduce a lo que sigue:

${\displaystyle \alpha _{0}x^{n}+\alpha _{1}x^{n-1}+\alpha _{2}x^{n-2}+\cdots +\alpha _{n-1}x+\alpha _{n}=0}$

donde n es un número entero positivo; α₀, α₁, α₂, ..., α_{n – 1}, α_n se denominan coeficientes o parámetros de la ecuación y se toman dados; x se nombra incógnita y se busca su valor. El número n positivo se llama grado de la ecuación⁶​ Para definir un número algebraico, se consideran números racionales como coeficientes.

Forma canónica

Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.

En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

${\displaystyle x^{3}y+2xy+4x-y-5=0}$

Grado

Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

${\displaystyle 2x^{3}-5x^{2}+4x+9=0}$

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.

Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita (aquí representada por la letra x) está elevada a la potencia 1 (grado = 1), es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

${\displaystyle ax+b=0}$

donde a y b están en un conjunto numérico (ℚ, ℝ) con a diferente de cero.

Su solución es sencilla: ${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{a}}}$. Exige la resolución, la existencia de inversos multiplicativos.

Ecuación de segundo grado

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1) y c es el término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto solo por constantes o números).

Cuando esta ecuación se plantea sobre ℂ, siempre se tienen dos soluciones:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Obviamente la condición para que la ecuación tenga solución sobre los números reales ℝ se requiere que b² ≥ 4ac y para que tenga soluciones sobre los números racionales ℚ se requiere b² – 4ac sea el cuadrado de algún número entero.

Ecuaciones diferenciales e integrales

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Tanto en matemáticas como en física y otras ciencias aplicadas, frecuentemente se usan ecuaciones no algebraicas, donde las incógnitas no son simplemente valores numéricos sino funciones. Por ejemplo, la trayectoria ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} (t)}$ de una partícula ligera en el campo gravitatorio de una estrella puede hallarse de manera aproximada gracias a buscar la solución de una ecuación diferencial del tipo:

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} (t)}{{\text{d}}t^{2}}}=-{\frac {GM}{\|\mathbf {r} (t)\|^{3}}}\mathbf {r} (t)}$

Donde ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} (t)}$ es el vector de posición de la partícula tomando el origen de coordenadas en la estrella, M es la masa del sol y G la constante de la gravitación universal.

En las ecuaciones, el conjunto de soluciones forman un cierto espacio de funciones, tales que todas ellas satisfacen la ecuación. Si el conjunto de soluciones se puede especificar por un número finito de condiciones iniciales, entonces ese espacio es localmente una variedad diferenciable de dimensión finita, cosa que sucede frecuentemente con las ecuaciones diferenciales ordinarias. En las ecuaciones en derivadas paraciales frecuentemente el conjunto de soluciones posibles con diferentes condiciones de contorno pueden formar un espacio de dimensión no finita

    Para qué sirven las inecuaciones

Las inecuaciones se aplican principalmente en los problemas de decisión en la vida diaria, esto cuando hay más de una alternativa que satisface el problema. La inecuación trata de programar una situación con el objeto de decidirse por una alternativa óptima, donde se busca encontrar el máximo o el mínimo, según sea problema planteado.

Las inecuaciones son utilizadas en diferentes hábitos como, la ingeniería, administración, economía, entre otros. Como por ejemplo, si una familia quiere planificar su gasto mensual, destinará cierta cantidad de dinero a cada necesidad. En el caso de la alimentación, sabemos que existe un mínimo de dinero a gastar, pero a su vez hay que tener un límite máximo, ya que de no tenerlo se sobrepasará el presupuesto total.  Entonces, para entender como varia el monto de dinero destinado para alimentación, podemos aplicar una inecuación.

Inecuaciones lineales con una incógnita:

Se llama inecuaciones lineales o de primer grado, ya que la variable x que aparece en uno o ambos miembros se encuentra elevada a la potencia uno, y con una incógnita (como dice la palabra) solo tiene una variable;

Ejemplos de inecuaciones:

La fórmula general de una inecuación lineal se expresa; ax + b ≥ 0; donde a y b representan números reales y a ≠ 0.

Para resolver las inecuaciones es necesario que aprendas las propiedades de las desigualdades, ya que te ayudaran a la transformación de la inecuación inicial, a otra equivalente más sencilla.

Se dice que dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Resolver una inecuación es encontrar todos los números reales que hacen que sea cierta, los cuales serán la solución de la inecuación.

Las soluciones de una inecuación se pueden expresar mediante, un conjunto, un intervalo o en forma gráfica.

Ejemplo:

Resolver la inecuación 2x – 3 > x + 5 y expresarla por conjunto, intervalo y gráficamente.

Ocupando las propiedades de las desigualdades, resolvemos;

Ahora expresamos la inecuación;

 Problemas con inecuaciones:

Para resolver problemas con inecuaciones puedes seguir los siguientes pasos;

a. Nombra al o los términos desconocidos con una incógnita.

b. Establece una relación entre los datos conocidos y desconocidos, planteando una inecuación.

c. Aplica las propiedades de las desigualdades que sean necesarias y resuelve la inecuación.

d. La solución debe estar en el mismo contexto que el problema planteado, por ejemplo si el problema habla de personas la solución será siempre un número natural, porque no podemos decir que hay media persona o 1,6 de una persona.

Ejemplo:

Álvaro estudio para una prueba 3 horas más que Fernando y en conjunto estudiaron a lo menos 15 horas. ¿Cuál es el mínimo de horas que pudo haber estudiado cada uno?

Si seguimos los pasos;

a) Llamaremos H a las horas de estudio de Fernando. (Incógnita)

b) Sabemos que Álvaro estudió 3 horas más que Fernando, y en conjunto estudiaron al menos 15 horas, entonces;